Dinamika Rotasi dan kesetimbangan benda tegar : Pengertian, Rumus dan contoh Soal Penyelesaian - jessipermata

BAB

DINAMIKA ROTASI DAN KESETIMBANGAN BENDA TEGAR

Tugas 1

1. MOMEN GAYA ( TORSI )

Momen gaya atau rotasi sering pula disebut dengan torsi atau torka yang dinotasikan dengan (ԏ) memiliki satuan Newton meter (Nm). Pada pelajaran gerak lurus, kamu telah belajar bahwa penyebab terjadinya gerak adalah gaya. Dengan demikian pada gerak rotasi, penyebab berputarnya suatu benda dinamakan momen gaya.

Momen gaya didenifisikan sebagai hasil perkalian antara gaya dan lengan momenyang tegak lurus ke poros atau sumbu rotasi.

Contoh momen gaya dalam kehidupan sehari-hari :

Membuka atau menutup pintu, tanganmu merupakan gaya sedang lebar pintu merupakan lengan momen ( bukan tinggi pintu lho ya ). Ayo temukan 5 contoh lagi

Gambar :

ԏ = + , arah putaran gaya searah dengan arah jarum jam

Rumus :

ԏ_o = F.L

keterangan :

ԏ_o = momen gaya atau torsi yang sumbu atau pusat putaran ada di titik O (Nm )

F = gaya ( N )

L = lengan momen ( m )

ԏ = - , arah putaran gaya berlawanan dengan arah jarum jam

Rumus :

ԏ_o = - F.L

SOAL I :

jika panjang lengan momen ( L ) = 4 meter dan besar gaya 10 N, tentukan momen gaya ( torsi ) jika pusat putaran ada dititik O

Jawab:

jika L = 3 meter dan besar gaya 30 N, tentukan momen gaya ( torsi ) jika pusat putaran ada dititik O

Jawab:

arah gaya F akan berlawanan dengan arah jarum jam menuju ke pusat putaran O, torsi bernilai negatif , maka :

ԏ_o = - F.L

ԏ_o = - 30 . 3

= 90 Nm

SOAL II :

Tentukan momen gaya atau torsinya jika pusat torsi/putaran ada di titik O

Jawab :

ԏ_o = F.L

= 100. 1

= 100 Nm

BILA KURANG PAHAM KALIAN BISA LIHAT YOUTUBE DENGAN DI BAWAH INI :

Jika AB = BC = CD = 1 m

Tentukan momen gaya yang bekerja pada batang AD jika pusat momen gaya ada di ……

a. titik A

b. titik C

c. titik B

d. titik D

( untuk soal point c dan d, kerjakan di rumah )

Jawab :

ԏ_A = ԏ₁ + ԏ₂ + ԏ₃ + ԏ₄

ԏ₁ = F₁ . L₁

= 10. 0 ( L₁ = nol karena F₁ langsung menempel pusat torsi/putaran, sehingga tidak punya lengan momen L )

= 0 Nm

ԏ₂ = + F₂ . L₂

ԏ₂ = 15 . 1

= 15 Nm

ԏ₃ = - F3 . L3

ԏ₃ = - 20 . 2

= - 40 Nm

ԏ₄ = + F₄ . L₄

ԏ₂ = 5 . 3

= 15 Nm

Jadi :

ԏ_A = ԏ₁ + ԏ₂ + ԏ₃ + ԏ₄

ԏ_A = 0 + 15 – 40 + 15 = - 10 Nm

BILA KURANG PAHAM CONTOH SOAL NOMOR 2a , KALIAN BISA LIHAT YOUTUBE DENGAN LINK DI BAWAH INI :

ԏ_C = ԏ₁ + ԏ₂ + ԏ₃ + ԏ₄

ԏ₁ = + F₁ . L₁

= 10. 2

= 20 Nm

ԏ₂ = - F₂ . L₂

ԏ₂ = -15 . 1

= -15 Nm

ԏ₃ = F₃ . L₃( L₃ = nol karena F₃ langsung menempel pusat torsi/putaran, sehingga tidak punya lengan momen L )

ԏ₃ = 20 . 0

= 0 Nm

ԏ₄ = + F₄ . L₄

ԏ₂ = 5 . 1

= 5 Nm

Jadi :

ԏ_C = ԏ₁ + ԏ₂ + ԏ₃ + ԏ₄

ԏ_A = 20 - 15 + 0 + 5 = 10 Nm ( Newton meter )

BILA KURANG PAHAM CONTOH SOAL NOMOR 2 b , KALIAN BISA LIHAT YOUTUBE DI BAWAH INI :

kerjakan no 2C dan 2d

batas akhir tugas 1

mulai tugas 2

Mencari nilai torsi ( ԏ ) Jika antara F dan L tidak saling tegak lurus

a. F dan L menbentuk sudut lancip

RUMUS :

Sin ϴ = d / L

Sehingga : d = L Sin ϴ

ԏ = F.d

ԏ = F L Sin ϴ

b. F dan L menbentuk sudut tumpul

ԏ = F L Sin ϴ atau ԏ = F L Sin α

catatan :

disini nilai : Sin ϴ = Sin α

1. 1. diketahui gambar seperti di bawah ini

Jika AB = BC = CD = DE = 2 m

Tentukan momen gaya batang AE jika pusat putaran ada di :

a) Titik A c) Titik D

b) Titik C d) Titik E

Jawab nomor 1a :

Jawab nomor 1b :

Kerjakan nomor 1C dan 1d

bila belum faham nomor 1 a dan 1 b, simak video di bawah ini

2. Lima gaya bekerja pada bujursangkar dengan sisi 10 cm seperti pada gambar yang ditunjukkan pada gambar berikut.

Tentukan momen gaya jika poros berada di titik perpotongan diagonal bujursangkar .

Jawab nomor 2 :

bila belum faham nomor 2, simak video di bawah ini

Kerjakan nomor 3

3. Lima gaya bekerja pada bujursangkar dengan sisi 20 cm seperti pada gambar yang ditunjukkan pada gambar berikut.

Tentukan momen gaya jika poros berada di titik perpotongan diagonal bujursangkar .

batas akhir tugas 2

mulai tugas 3

2. Momen Inersia (I)

Beberapa pengertian :

- Pada geral translasi massa merupakan besaran yang menyatakan ukuran kelembaban suatu

- Pada gerak rotasi yang menyatakan ukuran kelembaban suatu benda adalah momen inersia.

- Momen inersia suatu partikel didefinisikan sebagai hasil kali massa partikel dengan kuadrat jarak partikel terhadap sumbu putarnya atau porosnya.

Rumus :

I = mr²

Keterangan :

I = momen inersia (kg m²)

m = massa partikel (kg)

r = jarak antara partikel dengan porosnya (m)

Bila teridiri dari beberapa partikel, maka

I = m₁r₁² + m₂r₂² + m₃r₃² + ……

Gambar :

Soal

1. Pada titik titik sudut segitiga siku – siku dengan panjang sisi 3 cm, 4 cm, dan 5 cm ditempatkan titik materi dengan massa m_A = 5 gr, m_B = 10 gr, m_C = 20 gr. Tentukan momen inersia titik titik materi tersebut jika :

a. Sumbu rotasi melalui titik A dan tegak lurus bidang D BAC

b. Sumbu rotasi melalui titik A dan titik C

Gambar yang sesungguhnya dari nomor 1a

sapu lidi bersifat sebagai poros atau pusat putaran

Gambar yang sesungguhnya dari nomor 1b

2. Sebuah segitiga siku – siku ABC dengan panjang sisi miringnya AC = 50 cm. Pada titik titik sudutnya ditempatkan sebuah partikel bermassa 0,01 Kg. Sebuah sumbu putar melalui titik A dan tegak lurus AB( D ABC ). Tentukan momen inersia semua partikelnya terhadap sumbu putarnya.

Gambar yang sesungguhnya dari nomor 2

3. Sebuah persegi ABCD dengan panjang sisi sisinya 20 cm. Pada setiap sudutnya ditempatkan partikel masing masing bermassa 20 gr. Tentukan momen inersia dari partikel – partikel tersebut jika sumbu putarnya:

a. Melalui titik A dan tegak lurus bidang ABCD

b. Melalui sisi AB

Gambar yang sesungguhnya dari nomor 3a

Gambar yang sesungguhnya dari nomor 3b

4. Empat buah partikel masing masing bermassa 2m dihubungkan dengan batang ringan tak bermassa seperti terlihat pada gambar di bawah. Jika sistem partikel diputar dengan poros sumbu Y maka besar momen inersia sistem partikel adalah...

5. Perhatikan tabel berikut

Benda A,B dan C dihubungkan dengan batang tak bermassa. Besar momen inersia sistem terhadap sumbu yang tegak lurus bidang melalui poros benda A adalah…..

Gambar yang sesungguhnya dari nomor 5

Soal-soal : ( kerjakan )

1. Pada titik titik sudut segitiga siku – siku dengan panjang sisi 6 cm, 8 cm, dan 10 cm ditempatkan titik materi dengan massa m_A = 4 gr, m_B = 5 gr, m_C = 10 gr. Tentukan momen inersia titik titik materi tersebut jika :

a. Sumbu rotasi melalui titik A dan tegak lurus bidang D BAC

b. Sumbu rotasi melalui titik A dan titik B

2. Sebuah segitiga siku – siku ABC dengan panjang sisi miringnya AC = 80 cm. Pada titik titik sudutnya ditempatkan sebuah partikel bermassa 0,4 Kg. Sebuah sumbu putar melalui titik A dan tegak lurus AB atau D ABC . Tentukan momen inersia semua partikelnya terhadap sumbu putarnya.

3. Sebuah persegipanjang ABCD dengan panjang 15 cm dan lebar 8 cm. Pada setiap sudutnya ditempatkan partikel masing masing bermassa 10 gr. Tentukan momen inersia dari partikel – partikel tersebut jika sumbu putarnya:

a. Melalui titik A dan tegak lurus bidang ABCD

b. Melalui sisi AB

4. Empat buah partikel masing masing bermassa m, 2m, 3m dan 5m dihubungkan dengan batang ringan tak bermassa seperti terlihat pada gambar di bawah. Jika sistem partikel diputar dengan poros sumbu X maka besar momen inersia sistem partikel adalah…

5. Perhatikan tabel berikut

Benda A,B dan C dihubungkan dengan batang tak bermassa. Besar momen inersia sistem terhadap sumbu yang tegak lurus bidang melalui poros benda A adalah…..

batas akhir tugas 3

Mulai tugas 4

B Dinamika Rotasi

1. Momentum sudut (L)

Adalah hasil kali momen inersia dengan kecepatan sudut

Momentum pada gerak translasi (lurus) P = m n

Momentum pada gerak rotasi (melingkar) L = I ω

Keterangan :

L = momentum sudut (kgm²/s)

I = momen inersia (kgm²)

m = massa partikel (kg)

r = jarak antara poros dengan massa partikel (m)

ω = kecepatan sudut (rad/s)

Rumus

V = ω. r

P = m. ν

L = I ω

Rumus

L = I ω

L = m. r². ω atau L = m. ω. r²

= m. r². (v/r)

L = m. v. r

L = momentum sudut (kg m²/s)

Hubungan antara L dan t

t = torsi/ momen gaya (Nm)

Hukum kekekalan Momentum Sudut:

Jika pada benda tidak ada resultan momen gaya bekerja atau momen gaya pada sebuah benda adalah nol, momentum sudut benda adalah konstan.

L = konstan

dari rumus : L = I ω

Sehingga diperoleh rumus hukum kekekalan momentum sudut

L₁ = L₂

I₁ ω₁ = I₂ ω₂

Keterangan :

I₁ = momen inersia benda mula-mula ( kg m² )

ω₁ = kecepatan sudut benda mula-mula ( rad/s )

I₂ = momen inersia benda akhir ( kg m² )

ω₂ = kecepatan sudut benda akhir ( rad/s )

Soal :

1. Sebuah benda bermassa 100 gram diikat dengan seutas tali yang panjangnya 50 cm partikel tersebut diputar dengan kelajuan linear n = 10 m/s. Tentukan besar momentum sudut partikel tersebut.

2. Seorang anak naik sepeda dengan lintasan berbentuk lingkaran yang diameternya 20 m. Jika laju lintasannya 5 m/s dan massa anak beserta sepeda 40 Kg. Tentukan laju anguler (kecepatan sudut) anak tersebut dan tentukan pula momentum sudut anak beserta sepedanya.

3. Karena tiupan angin sebuah baling baling yang terbuat dari plastic panjangnya 20 cm dan massanya 60 gram dapat berotasi dengan kecepatan sudut 15 rad/s. Tentukan momentum sudut baling – baling tersebut.

4. seorang penari balet berputar dengan tangan terentang pada kecepatan sudut 10 rpm di atas lantai licin dengan momen inersia 12 kg m². Kemudian tangannya dilipat menyilang di dada hingga kecepatan sudutnya menjadi 16 rpm. Momen inersia pada kondisi menyilang di dada adalah…

2. Katrol yang dihubungkan dengan 1 beban

Katrol yang kita bahas adalah katrol kasar bukan katrol licin, sehinnga massa katrol di masukkan kedalam perhitungan.

maka :

Keterangan :

I = momen inersia

I = (1/2) MR² (untuk katrol)

m = massa benda (kg)

M = massa katrol (kg)

R = jari – jari katrol (m)

a = percepatan benda (m/s²)

α = percepatan sudut benda (rad/s²)

Contoh Soal:

1. Diketahui seperti pada gambar di bawah

Jika :

massa katrol (M) = 4 Kg

massa benda (m) = 2 Kg

Jari – jari katrol = 0,5 m

Tentukan :

a. Percepatan benda (a)

b. Percepatan sudut katrol (α)

c. Torsi (t)

d. Tegangan tali (T)

2. Diketahui seperti pada gambar di bawah ini

Katrol dengan bola pejal berputar dengan percepatan 2 m/s² . Jika massa benda 2 kg, jari-jari katrol R = 0,1 m, g = 10 m/s² , tentukan momen inersia katrol

3. Diketahui seperti gambar di bawah

Sebuah katrol terbuat dari silinder pejal memiliki massa 4 kg. Bila momen gaya pada katrol 16 Nm dan jari - jari katrol 10 cm, tentukan percepatan linear katrol (g = 10 m/s²).

4. sebuah katrol dari benda pejal dengan tali yang dililitkan dengan tali luarnya ditampilkan seperti gambar. Gesekan katrol diabaikan. Jika momen inersia katrol I = β dan tali di Tarik dengan gaya tetap F, maka nilai F setara dengan….

5. Sebuah benda bermassa 2M berbentuk silinder dengan jari- jari R dililit dengan tali halus ( massa tali diabaikan )ujung tali dimatikan dititik tetapdan benda dibiarkan jatuh berotasi seperti gambar bawah dengan percepatan g. besar tegangan tali pada system tersebut adalah…

Soal-soal : ( kerjakan )

1.Sebuah benda bermassa 250 gram diikat dengan seutas tali yang panjangnya 45 cm partikel tersebut diputar dengan kelajuan linear n = 20 m/s. Tentukan besar momentum sudut partikel tersebut.

2. Seorang anak naik sepeda dengan lintasan berbentuk lingkaran yang diameternya 15 m. Jika laju lintasannya 10 m/s dan massa anak beserta sepeda 80 Kg. Tentukan laju anguler (kecepatan sudut) anak tersebut dan tentukan pula momentum sudut anak beserta sepedanya.

3. Karena tiupan angin sebuah baling baling yang terbuat dari plastic panjangnya 25 cm dan massanya 75 gram dapat berotasi dengan kecepatan sudut 20 rad/s. Tentukan momentum sudut baling – baling tersebut.

4. seorang penari balet berputar dengan tangan terentang pada kecepatan sudut 20 rpm di atas lantai licin dengan momen inersia 50 kg m². Kemudian tangannya dilipat menyilang di dada hingga kecepatan sudutnya menjadi 22 rpm. Momen inersia pada kondisi menyilang di dada adalah…

5. Diketahui seperti pada gambar di bawah

Jika :

massa katrol (M) = 6 Kg

massa benda (m) = 4 Kg

Jari – jari katrol = 0,8 m

Tentukan :

a. Percepatan benda (a)

b. Percepatan sudut katrol (α)

c. Torsi (t)

d. Tegangan tali (T)

6. Diketahui seperti pada gambar di bawah ini

Katrol dengan bola pejal berputar dengan percepatan 8 m/s² . Jika massa benda 6 kg, jari-jari katrol R = 0,2 m, g = 10 m/s² , tentukan momen inersia katrol

7. Diketahui seperti gambar di bawah

Sebuah katrol terbuat dari silinder pejal memiliki massa 10 kg. Bila momen gaya pada katrol 80 Nm, tentukan percepatan linear katrol (g = 10 m/s²).

8. Sebuah benda bermassa 4M berbentuk silinder dengan jari- jari R dililit dengan tali halus ( massa tali diabaikan )ujung tali dimatikan dititik tetapdan benda dibiarkan jatuh berotasi seperti gambar bawah dengan percepatan g. besar tegangan tali pada system tersebut adalah

batas akhir tugas 4

mulai tugas 5

3. Katrol yang dihubungkan dengan 2 benda

Kasus : m₂ > m₁

Jika katrol licin :

SF = m. a

w₂ – w₁ = (m₁ + m₂). a

jika katrol kasar :

nilai T₁ dan T₂

T₂ = m_2.g – m_2.a

T₁ = m_1.g + m_1.a

Kasus : m₁ > m₂

Jika katrol licin :

SF = m. a

jika katrol kasar :

nilai T₁ dan T₂

T₁ = m_1.g – m_1.a

T₂ = m_2.g + m_2.a

Keterangan :

M = massa katrol (kg)

m₁ = massa benda 1 (kg)

m₂ = massa benda 2 (kg)

a = percepatan katrol (m/s²)

T₁ = Tegangan 1 (N)

T₂ = Tegangan 2 (N)

Contoh Soal katrol kasar 2 benda :

1. Jika m₁ = 2 Kg, m₂ = 4 Kg, M = 8 Kg, Jari – jari katrol = 0,2 m (katrol kasar) , g = 10 m/s²

Tentukan :

a. Percepatan katrol (a)

b. Momen inersia katrol (I)

c. Percepatan sudut katrol (α)

d. Torsi atau momen gaya katrol (t)

e. Tegangan tali 1 (T₁)

f. Tegangan tali 2 (T₂)

2. diketahui seperti pada gambar di bawah

Jika m₁ = 2 Kg, m₂ = 1 Kg, percepatan linier a = 2 m/s² , Jari – jari katrol = 0,1 m (katrol kasar)

Tentukan :

a. Massa katrol (M)

b. Momen inersia katrol (I)

c. Percepatan sudut katrol (α)

Benda menggelinding di bidang datar

Lantai kasar berarti

v Pada gerak rotasi :

St = I. α

f_k. R = k. m. R² . (a/R)

f_k= k. m. a

f_k = gaya gesek kinetic [N]

v Pada gerak translasi :

S F = m . a

F - f_k = m. a

F - k. m. a = m. a

F = m. a + k. m. a

F = (1 + k) m. a

Untuk benda meluncur atau slip (tidak ada gesekan / licin)

Lantai licin berarti benda meluncur

F = m. a

a = F/m

n = w. R

a = α. R

Energi Kinetik terdiri dari :

Keterangan :

F = gaya (N)

f_k = gaya gesek kinetic (N)

a = percepatan benda

w = kecepatan sudut benda (rad/s )

Contoh Soal

1. Silinder pejal bermassa 20 Kg dengan R = 10 cm didorong dengan gaya 100 N. Tentukan percepatan yang dialami silinder jika :

a. Ada gesekan sehingga silinder menggelinding sempurna

b. Tidak ada gesekan, sehingga benda meluncur

c. Percepatan sudut jika benda menggelinding

d. Torsi

2. Sebuah bola pejal bermassa 1 Kg dan jari – jari 20 cm menggelinding murni pada sebuah bidang datar dengan kelajuan 40 m/s. Tentukan :

a. Energi kinetik translasi (Ek_t)

b. Energi kinetik rotasi (Ek_r)

c. Energi kinetik total (Ek total)

Benda menggelinding di bidang miring

Pada gerak rotasi

St = I. α

f_k. R = K. m. R² . (a/R)

f_k= K. m. a

Pada gerak translasi

S F = m . a

m. g. sin α - f_k = m. a

m. g. sin α - k. m. a = m. a

m. g. sin α = f_k = m. a + k. m. a

m. g. sin α = (1 + k) m. a

v Hukum kekekalan Energi Mekanik

EM₁ = EM₂

EP₁ + Ek_{1 =}EM₂ + EK₂

m.g.h + 0 = 0 + (Ek_t + Ek_r)

Keterangan :

h = tinggi bidang (m)

ν₀ = Kecepatan awal benda

ν = Kecepatan benda setelah sampai di bidang miring (m/s)

v Benda meluncur (tergelincir/ slip) di bidang miring

a = g. sin α dan v = √2gh

Soal :

1. Sebuah silinder pejal dilepaskan dari sebuah puncak sebuah bidang miring yang panjangnya 4 m, g = 10 m/s² dengan sudut kemiringan terhadap horizontal 30⁰ tentukan :

a. Percepatan benda

b. Kecepatan benda pada dasar bidang miring

c. Waktu yang dicapai benda untuk mencapai dasar bidang miring (Benda bila soal tidak dikatakan apa – apa berarti mengelinding ).

2. Sebuah cincin (silinder tipis) bermassa 20 gr menggelinding tanpa slip pada sebuah bidang miring yang mempunyai sudut kemiringan 37^o terhadap horizontal, jika kecepatan awal cincin 2 m/s . tentukan percepatan dan kecepatan cincin tersebut setelah menempuh jarak sepanjang 1 m pada bidang miring.

3. Sebuah silinder pejal bergerak menggelinding di bidang miring dengan kecepatan awal 5 m/s dan sin α = 0,8. Jika g = 10 m/s² dan kecepatan benda itu berkurang menjadi 2 m/s. tentukan jarak yang ditempuh oleh benda.

1. Soal-soal (kerjakan )

Diketahui seperti pada gambar di bawah

Jika m₁ = 4 Kg, m₂ = 3 Kg, M = 6 Kg, Jari – jari katrol = 0,4 m (katrol kasar)

Tentukan :

a. Percepatan katrol (a)

b. Momen inersia katrol (I)

c. Percepatan sudut katrol (α)

d. Torsi atau momen gaya katrol (t)

e. Tegangan tali 1 (T₁)

f. Tegangan tali 2 (T₂)

2. Diketahui seperti pada gambar di bawah

Jika m₁ = 2 Kg, m₂ = 4 Kg, a = 8 m/s² , Jari – jari katrol = 0,1 m (katrol kasar)

Tentukan :

a. Massa katrol (M)

b. Momen inersia katrol (I)

c. Percepatan sudut katrol (α)

3. Silinder pejal bermassa 40 Kg dengan R = 10 cm didorong dengan gaya 200 N. Tentukan percepatan yang dialami silinder jika :

a. Ada gesekan sehingga silinder menggelinding sempurna

b. Tidak ada gesekan, sehingga benda meluncur

c. Percepatan sudut jika benda menggelinding

d. Torsi ( momen gaya )

4. Sebuah silinder pejal bermassa 4 Kg dan jari- jari 10 cm menggelinding murni pada sebuah bidang datar dengan kelajuan 50 m/s. Tentukan :

a. Energi kinetik translasi (Ekt)

b. Energi kinetik rotasi (Ekr)

c. Energi kinetik total (Ek total)

5. Sebuah bola pejal dilepaskan dari sebuah puncak sebuah bidang miring yang panjangnya 6 m dengan sudut kemiringan terhadap horizontal 53^o tentukan :

a. Percepatan benda

b. Kecepatan benda pada dasar bidang miring

c. Waktu yang dicapai benda untuk mencapai dasar bidang miring (Benda bila soal tidak dikatakan apa – apa berarti mengelinding ).

6. Sebuah cincin (silinder tipis) bermassa 50 gr menggelinding tanpa slip pada sebuah bidang miring yang mempunyai sudut kemiringan 30^o terhadap horizontal, jika kecepatan awal cincin 4 m/s tentukan : percepatan dan kecepatan cincin tersebut setelah menempuh jarak sepanjang 2 m pada bidang miring.

7. Sebuah bola pejal bergerak menggelinding di bidang miring dengan kecepatan awal 10 m/s dan sin α = 0,6. Jika g = 10 m/s² dan kecepatan benda itu berkurang menjadi 4 m/s. tentukan jarak yang ditempuh oleh benda.