Barisan dan Deret : Pengertian - Rumus dan contoh Soal Penyelesaian - jessipermata

BARISAN DAN DERET

A. Barisan dan Deret Aritmatika

Barisan aritmatika adalah barisan bilangan yang selisih ( beda ) setiap dua suku yang berurutan adalah sama.

Rumus :

b ( beda ) :

b = U₂ - U₁ = U₃ – U₂ = U₄ – U₃ dan seterusnya

sehingga dapat dirumuskan :

b = U_n – U_n-1

suku ke n ( U_n ) :

U_n = a + (n-1) b atau U_n = S_n – S_n-1

Jumlah n suku pertama ( S_n ) :

Suku tengah ( U_t ) :

Sisipan :

Misal terdapat dua bilangan yaitu x dan y. di antara dua bilangan tersebut disisipkan sebanyak k buah bilangan , sehingga bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk barisan aritmatika.

Nilai besarnya beda setelah ada penyisipan :

Keterangan :

b = beda setelah ada penyisipan

x = a = U₁

y = U_n

k = banyak bilangan sisipan

soal penyelesaian :

1. Diketahui barisan 5, -2, -9, -16, …… tentukan :

a. Rumus suku ke -n

b. Suku ke 24

2. Suku ke 3 barisan aritmatika adalah 11 dan suku ke 6 adalah 20. Tentukan suku ke 50

3. Antara bilangan 10 dan 46 disisipkan 8 bilangan. Bilangan semula dan bilangan yang disisipkan membentuk sebuah barisan aritmatika. Hitung jumlah deret aritmatika tersebut.

4. Suku ke 4 dari suatu barisan aritmatika sama dengan 3 sedangkan suku ke 8 sama dengan -9

a. Carilah suku pertama dan beda barisan aritmetika ini
b. Carilah rumus suku ke-n
c. Carilah suku ke 20 dan suku ke 30

5. Suatu barisan aritmatika mempunyai suku ketiga adalah 12, suku ke lima adalah 22, suku terakhir 42. Tentukan Jumlah semua suku barisan tersebut !

6. diketahui barisan aritmatika dengan U_n adalah suku ke n. jika U₃+ U₁₀ + U₃₈ = 135. Tentukan nilai dari U₁₇

7. Ani mempunyai seutas tali rafia dan dipotong menjadi 8 bagian membentuk barisan aritmatika. Panjang tali terpendek 4 cm dan yang terpanjang adalah 46 cm. tentukan Panjang tali rafia mula-mula.

8. Tempat duduk di dalam Gedung pertunjukan film diatur mulai dari baris depan kebelakang dengan banyak baris dibelakang lebih 2 kursi dari baris di depannya. Apabila dalam Gedung pertunjukan terdapat 20 baris kursi dengan baris terdepan sebanyak 15 kursi. Kapasitas kursi dala Gedung pertunjukan adalah….

9. Tujuh orang bersaudara dengan selisih umur yang sama. Anak termuda berusia 12 tahun dan yang tertua 30 tahun. Jumlah usia mereka seluruhnya adalah...

10. U₆ sebuah deret aritmetika adalah 17 dan jumlah U₉ dan U₁₁ sama dengan 58. Jumlah 10 suku yang pertama deret itu adalah ....

kunjungi juga hesarilla.com

B. Barisan dan Deret Geometri

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang nilai pembanding ( rasio ) antara 2 suku yang berurutan selalu tetap.

Rumus :

Rasio ( r ) :

Sisipan

Nilai besarnya beda setelah ada penyisipan :

Keterangan :

r = rasio barisan geometri setelah ada penyisipan

x = a = U₁

y = U_n

k = banyak bilangan sisipan

catatan :

1. Untuk k genap, nilai r yang diperoleh hanya ada 1 kemungkinan yaitu

2. Untuk k ganjil, nilai r yang diperoleh ada 2 kemungkinan yaitu

Deret geometri tak hingga

Barisan geometri tak hingga adalah barisan geometri yang mempunyai banyak suku tak hingga. Jika suku-suku pada barisan geometri dijumlahkan maka disebut deret geometri tak hingga.

Sifat deret geometri tak hingga :

1. Jika -1< r < 1,

Maka :

sehingga jumlah deret geometri tak hingga ditentukan oleh :

Deret geometri tak hingga ini disebut deret geometri konvergen ( mempunyai limit jumlah atau terbatas )

2. Jika r < -1 atau r > 1 maka :

Sehingga jumlah deret geometri tak hingga menjadi S = ±∞. Deret geometri tak hingga ini disebut deret geometri divergen ( tidak mempunyai limit jumlah atau tak terbatas )

Soal dan penyelesaian :

1. Jumlah lima suku pertama deret geometri adalah 242. Jika rasio deret itu adalah 3. Tentukan hasil kali suku ketiga dan suku keenam.

2. Jumlah lima suku pertama deret geometri adalah 410. Jika rasio deret itu adalah -4. Tentukan jumlah suku kedua dan suku keempat.

3. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 30 cm dan memantul Kembali dengan ketinggian 3/5 kali tinngi semula. Pemantauan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Tentukan jumlah seluruh lintasan bola.

4. Diketahui barisan geometri dengan semua sukunya positif. Jika U₂ kali U₄ adalah 625 dan S₃ = 31, tentukan suku pertama.

5.Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmetika dengan beda empat. Jika suku kedua dikurangi 2, maka terbentuklah barisan geometri dengan jumlah 13. Rasio barisan tersebut adalah ....

6. Suku ke 2 dan suku ke 5 barisan geometri berturut – turut adalah – 6 dan 48. Tentukan suku ke 6 barisan tersebut.

7.Tentukan deret berikut apakah termasuk deret geometri konvergen atau divergen dan tentukan jumlahnya ( S_∞ )

a. 4+8+16+32+…

b. 0,5 +0,25+1,25+…

c. 2 -8+32-128+…

d. 4 – 1 + ¼ - 1/16 +…..

Aplikasi Barisan dan Deret bilangan

1. Pertumbuhan

Pertumbuhan adalah kenaikan atau pertambahan nilai suatu besaran terhadap besaran sebelumnya.

Rumus :

P_t = P_o ( 1 + r )^t

Keterangan :

P_t = nilai pertumbuhan ke - t

P_o = nilai pertumbuhan awal

r = prosentase pertumbuhan

t = periode

2. Peluruhan

Peluruhan adalah penurunan atau pengurangan nilai suatu besaran terhadap besaran sebelumnya.

Rumus :

P_t = P_o ( 1 - r )^t

Keterangan :

P_t = nilai peluruhan ke - t

P_o = nilai peluruhan awal

r = prosentase peluruhan

t = periode

3. Bunga Majemuk

Bunga majemuk adalah bunga yang diberikan berdasarkan modal awal dan akumulasi bunga pada periode sebelumnya. Uang yang dibungakan dengan bunga majemuk akan bertambah sebagaimana pertumbuhan.

Rumus :

M_t = M_o ( 1 + r )^t

Keterangan :

M_t = nilai uang setelah periode ke - t

M_o = modal awal

r = suku bunga tiap periode

t = periode

Soal dan penyelesaian :

1. Jumlah penduduk suatu kota setiap tahun meningkat sekitar 2% dari jumlah penduduk tahun sebelumnya. Berdasarkan sensus penduduk pada tahun 2011, penduduk di kota tersebut sebanyak 400.000 orang. Jumlah penduduk pada tahun 2021 adalah….

2. Massa radioaktif pada jam 09.00 adalah 1 kg apabila laju peluruhan zat radioaktif tersebut 2% setiap jam. Sisa radioaktif pada pukul 12.00 adalah…..

3. Ani menanam modal sebesar Rp. 40.000.000,-dengan bunga majemuk 5%. Berapa besar modal selama 2 tahun.

ANUITAS

Anuitas yaitu suatu pembayaran atau penerimaan uang setiap jangka waktu tertentudalam jumlah yang samaatau tetap. Anuitas terdiri dari angsuran dan bunga.

Rumus :

Anuitas = angsuran + bunga

A = a_t + b_t

keterangan :

A = anuitas

a_t = angsuran ke - t

b_t = bunga ke - t

NILAI ANUITAS

Nilai anuitas dari suatu pinjaman dengan suku bunga per periode selama t periode dirumuskan dengan :